Coeficiente Angular de uma reta
 

  A inclinação de uma reta r, que tem o ponto P como intersecção dela com o eixo-x, é a medida do menor ângulo  que o eixo Ox deve “girar”, no sentido anti-horário, para coincidir com a reta r. Tal ângulo pode ser nulo, agudo, reto ou obtuso, como podemos observar nas figuras abaixo.

 

Coeficiente Angular

   Denomina-se coeficiente angular ou declividade de uma reta r com equação y = ax + b, como sendo a tangente da inclinação a.

   Do ponto de vista geométrico, o coeficiente angular de uma reta é um número m que indica se os pontos da reta sobem ou descem, para cada unidade de variação horizontal da variável, da esquerda para a direita. Além disso, o número m dá a medida de quão íngreme é esta subida ou descida.

   Em problemas práticos, o coeficiente angular de uma reta pode ser interpretado como uma razão ou como uma taxa de variação, dependendo das unidades que são utilizadas nos eixos x e y. Se os eixos x e y apresentam as mesmas unidades, então o número que mede o coeficiente angular é adimensional e representa uma razão. Agora, se os eixos x e y apresentam unidades diferentes, o coeficiente angular tem dimensões e representa uma taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x.

   Definimos o coeficiente angular m de uma reta não-vertical, como sendo a razão

quando vamos de um ponto P a um ponto Q da reta (ver figura abaixo).

     

   Reta de coeficiente angular

   Da figura observamos que, escrevendo P e Q em termos de suas coordenadas, ou seja, P(x0,y0) e Q(x1,y1), a variação de y, quando passamos de P a Q, é dada por  e  a variação de x é dada por . Assim,

coeficiente angular da reta  =

onde a é a inclinação da reta.

EXEMPLO 1  Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P(1,3) e Q(–1,5).

Desta forma, conhecendo-se dois pontos quaisquer de uma reta, podemos obter o coeficiente angular da mesma e, conseqüentemente, sua inclinação.

   Retas crescentes (ver fig.1 abaixo) têm coeficiente angular positivo. Neste caso, se a variação de x, quando nos deslocamos de um ponto P(x0,y0) a outro ponto Q(x1,y1) nesta reta, é positiva, então a variação correspondente de y também é positiva. Retas que decrescem (ver fig.2 abaixo) têm coeficiente angular negativo. Neste caso, se a variação de x, quando nos deslocamos de um ponto P a outro ponto Q nesta reta, é positiva, então a variação correspondente de y é negativa.

   Observe que retas horizontais têm coeficiente angular nulo.

   Se considerarmos retas que sobem rapidamente (descem rapidamente), a variação de y sobre estas retas é grande, relativamente à x, ou seja, possuem coeficiente angular grande positivo (negativo).

   Retas que são quase horizontais têm coeficientes angulares pequenos (positivos ou negativos).

Propriedades:
1. Duas retas quaisquer são paralelas se, e somente se, elas têm o mesmo coeficiente angular.
2. Duas retas quaisquer são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a  –1.

   Conhecendo-se o coeficiente angular m e um ponto (x0,y0) de uma reta não-vertical, obtemos a equação dessa reta do seguinte modo:

yy0 = m (xx0)

que é chamada equação reduzida da reta que passa pelo ponto (x0,y0) com coeficiente angular m.


EXEMPLO 2  Determine a equação da reta r que passa pelo ponto (1,2) e é paralela a reta .

EXEMPLO 3  Determine a equação da reta r perpendicular a reta  e que passa pelo ponto (4,7).

EXEMPLO 4  Cinética Química - A decomposição de NO2 em função do tempo t (em segundos) a 383°C, para formar NO e O2, é uma reação de segunda ordem, pois verifica a seguinte relação:

onde [NO2] é a concentração de NO2 no tempo t, [NO2]0 é a concentração de NO2 no tempo  t = 0 e k = 10,1. Esta relação é a equação de uma reta com coeficiente angular igual a k.

Freqüentemente, o coeficiente angular e a interseção de uma reta y = ax + b com o eixo y, têm interpretações físicas importantes. No Exemplo anterior, podemos observar que a intersecção da reta

com o eixo das ordenadas nos dá uma informação a respeito do valor da concentração de NO2 no instante t = 0 e o coeficiente angular k = 10,1 nos diz o quanto a concentração de NO2 varia por cada unidade de tempo. O valor positivo do coeficiente angular nos diz que está havendo um aumento de  com a variação do tempo e, conseqüentemente uma diminuição na concentração de NO2 com o passar do tempo.

 


 
 
 
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